市区町村役場から　“給与所得等に係る市民税・県民税　特別徴収額の決定・変更通知書”　が届きました。
６月分以降の住民税の納付額の設定変更はどのタイミングで行えばよいのでしょうか？

住民税の設定変更は５月の給与処理確定後に行います。
以下の通り処理してください。